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In der Mathematik ist eine '''Funktion''' () oder '''Abbildung''' eine Beziehung (Relation) zwischen zwei Mengen, die jedem Element der einen Menge (Funktionsargument, unabhängige Variable, <math>x</math>-Wert) genau ein Element der anderen Menge (Funktionswert, abhängige Variable, <math>y</math>-Wert) zuordnet. Der Funktionsbegriff wird in der Literatur unterschiedlich definiert, jedoch geht man generell von der Vorstellung aus, dass Funktionen mathematischen Objekten mathematische Objekte zuordnen, zum Beispiel jeder reellen Zahl deren Quadrat. Das Konzept der Funktion oder Abbildung nimmt in der modernen Mathematik eine zentrale Stellung ein; es enthält als Spezialfälle unter anderem parametrische Kurven, Skalar- und Vektorfelder, Transformationen, Operationen, Operatoren und vieles mehr.

Begriffsgeschichte

Erste Ansätze zu einer impliziten Verwendung des Funktionsbegriffs in Tabellenform (Schattenlänge abhängig von der Tageszeit, Sehnenlängen abhängig vom Zentriwinkel etc.) sind bereits in der Antike zu erkennen. Den ersten Beleg einer expliziten Definition des Funktionsbegriffs findet man bei , ein Schüler Johann Bernoullis, in seinem Buch ''Introductio in analysin infinitorum'' den Funktionsbegriff weiter.

Bei Euler findet man zwei verschiedene Erklärungen des Funktionsbegriffs: Zum einen stellt jeder ?analytische Ausdruck? in <math>x</math> eine Funktion dar, zum anderen wird <math>y(x)</math> im Koordinatensystem durch eine freihändig gezeichnete Kurve definiert. 1755 formuliert er diese Vorstellungen ohne Verwendung des Terminus ?analytischer Ausdruck? um. Außerdem führte er bereits 1734 die Schreibweise <math>f(x)</math> ein. Er unterscheidet zwischen eindeutigen und mehrdeutigen Funktionen. Bei Euler ist damit auch die Umkehrung der Normalparabel, bei der jeder nicht-negativen reellen Zahl sowohl ihre positive als auch ihre negative Wurzel zugeordnet wird, als Funktion zugelassen. Für Lagrange sind nur Funktionen zulässig, die durch Potenzreihen definiert sind, wie er 1797 in seiner ''Théorie des fonctions analytiques'' festlegt. Eine fruchtbare Auseinandersetzung über das Bewegungsgesetz einer schwingenden Saite, zu dem d?Alembert 1747, Euler 1748 und Daniel Bernoulli 1753 unterschiedliche Lösungen vorstellten, führte zur Entdeckung der ''Definitionsmenge'' und einem weiter präzisierten Funktionsbegriff, in dem schon so etwas wie eindeutige Zuordnung umschrieben wird, durch Fourier in seinem 1822 erschienenen Buch ''Théorie analytique de la chaleur.'' Ähnliches formuliert Cauchy 1823 in ''Résumé des leçons ? sur le calcul infinitésimal.''

Als die 1870 in ''Untersuchungen über die unendlich oft oscillierenden und unstetigen Functionen.'' Auch hier wird noch nicht zwischen der Funktion <math>f</math> und dem Funktionswert <math>f(x)</math> an der Stelle <math>x</math> unterschieden.

Weierstraß, Dedekind und andere entdeckten, dass Grenzwerte unendlicher Folgen ?klassischer? Funktionen sprunghaft sein können und sich nicht immer durch ?geschlossene? Formeln, d.?h. mit endlich vielen Rechenoperationen, ausdrücken lassen. Das erzwang eine schrittweise Ausweitung des Funktionsbegriffs.

Davon unabhängig wurde im 19. Jahrhundert die Gruppentheorie begründet, mit der man systematisch untersuchen kann, wie sich algebraische Gleichungen unter der Wirkung aufeinanderfolgender Transformationen verändern. Bei der Anwendung dieser Theorie auf geometrische Probleme wurden gleichbedeutend mit ''Transformation'' auch die Begriffe ''Bewegung'' und ''Abbildung'' gebraucht.

Als Anfang des 20. Jahrhunderts die Grundlagen der Mathematik einheitlich in der Sprache der Mengenlehre formuliert wurden, stellten sich die mathematischen Begriffe ''Funktion'' und ''Abbildung'' als deckungsgleich heraus. Im Sprachgebrauch wirken die unterschiedlichen Traditionen jedoch fort. In der Analysis spricht man heute häufig noch von Funktionen, während man in der Algebra und in der Geometrie von Abbildungen spricht. Einige Mathematiker unterscheiden auch heute noch streng zwischen einer Abbildung und einer Funktion. Diese verstehen unter einer Funktion eine Abbildung in den reellen oder komplexen Zahlenkörper (<math>\R</math> bzw. <math>\Complex</math>) oder auch Potenzen davon (<math>\R^n</math> bzw. <math>\Complex^n</math>), andererseits ist es in der Booleschen Algebra gebräuchlich, von Booleschen Funktionen zu sprechen.

Weitere Synonyme für ''Funktion'' in spezielleren Zusammenhängen sind unter anderem Operator in der Analysis, Operation, Verknüpfung und (etwas verallgemeinert) Morphismus in der Algebra.

Heute sehen manche Autoren den Funktionsbegriff (genauso wie den Relationsbegriff) nicht unbedingt als auf Mengen beschränkt an, sondern lassen jede aus '' definiert.

Definition

Grundidee

Eine Funktion <math>f</math> ordnet ''jedem'' Element <math>x</math> einer Definitionsmenge <math>D</math> ''genau ein'' Element <math>y</math> einer Zielmenge <math>Z</math> zu.

Schreibweise:
<math>f\colon\, D\to Z,\; x\mapsto y</math>, ? oder auch äquivalent: ? <math>f\colon\, \begin{cases} D\to Z \\ x\mapsto y\end{cases}</math>

Für das dem Element <math>x \in D</math> zugeordnete Element der Zielmenge schreibt man im Allgemeinen <math>f(x)</math>.

Anmerkungen:
  • Die Umkehrung gilt nicht: Ein Element der Zielmenge kann einem, mehreren, aber auch keinem Element der Definitionsmenge zugeordnet sein.
  • Oft ist an Stelle der Definitionsmenge zunächst eine Quellmenge <math>Q</math> gegeben. Wenn <math>f</math> als Rechenvorschrift gegeben ist, erhält man die Definitionsmenge <math>D_f</math>, indem man von <math>Q</math> diejenigen Elemente ausschließt, für die <math>f</math> nicht definiert ist. Siehe auch Abschnitt ?Partielle Funktionen?.

Notation

Schreibweisen

Eine Zuordnung kann unter anderem in einer der folgenden Formen beschrieben werden:

Funktionsgleichung mit Definitionsmenge
<math>f(x) = x^2, \qquad x \in \N</math>
Eindeutige Zuordnungsvorschrift (englisch: ''maplet'') mit Definitionsmenge
<math>x \mapsto x^2, \qquad x \in \N</math>
Eindeutige Zuordnungsvorschrift mit Definitions- und Zielmenge
<math>f\colon \N \rightarrow \N,\; x \mapsto x^2</math>, ? oder äquivalent: ? <math>f\colon\, \begin{cases} \N\to \N \\ x\mapsto x^2\end{cases}</math>
Familienschreibweise (mit der Bezeichnung ''Indexmenge'' für die Definitionsmenge):
<math>(f_x)_{x\in{\N}}</math>
Wertetabelle (für endliche, aber auch abzählbar unendliche Definitionsmengen)
{| cellpadding="3" cellspacing="0" style="text-align:right; margin-left:2em;"
|style="width:2ex; border-right:1px double black; border-bottom:1px solid black" | <math>x</math>
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 1
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 2
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 3
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 4
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 5
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 6
|style="width:2ex; border-right:1px solid black; border-bottom:1px solid black" | 7
|style="width:2ex; border-bottom:1px solid black" | ?
|-
|style="border-right:1px double black;" | <math>y</math>
|style="border-right:1px solid black" | 1
|style="border-right:1px solid black" | 4
|style="border-right:1px solid black" | 9
|style="border-right:1px solid black" | 16
|style="border-right:1px solid black" | 25
|style="border-right:1px solid black" | 36
|style="border-right:1px solid black" | 49
| ?
|}
Als Relation insbesondere auch als aufgezählt oder beschrieben dargestellte Teilmenge
<math>f = \{(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),\ldots\}</math>
Als Ergebnis von Verknüpfungen und Operationen (zum Beispiel Komposition, Differenzierung, Bildung der Umkehrfunktion,??), die auf andere Funktionen angewendet werden
<math>f = (g^\prime\circ h)^{-1}</math>

Sprechweisen

Für die Zuordnung eines Funktionswertes <math>y</math> zu einem Argument <math>x</math> gibt es eine Reihe verschiedener Sprech- oder ausführlicher Schreibweisen, die alle mehr oder weniger gleichwertig sind und vor allem in Abhängigkeit von dem, was vordergründig ausgedrückt werden soll, vom jeweiligen Kontext, der benutzten Symbolik und auch vom Geschmack des Sprechers (Schreibers) gewählt werden. Hier einige Beispiele:
''<math>x</math> wird abgebildet auf <math>f</math> von <math>x</math>''
''<math>f</math> von <math>x</math> wird <math>x</math> eindeutig zugeordnet'' (vornehmlich, wenn das <math>\mapsto</math>-Symbol in der Symbolik steht)
''<math>y</math> gleich <math>f</math> von <math>x</math>'' (vornehmlich, wenn ein Gleichheitszeichen in der Symbolik steht)
''<math>y</math> ist das Bild von <math>x</math> unter der Abbildung <math>f</math>''

Davon zu unterscheiden ist die Sprech- und Schreibweise: ''?<math>y</math> ist eine Funktion von <math>x</math>?,'' die vor allem in der Physik sehr nahestehenden Bereichen der Mathematik auftaucht. Sie ist die ältere und ursprüngliche Sprech- und Schreibweise und beschreibt die Abhängigkeit einer Variablen <math>y</math> von einer anderen Variablen <math>x</math>, im Gegensatz dazu, dass mit Hilfe der Variablen <math>x</math> und <math>y</math> (stellvertretend) die Zuordnung bestimmter Elemente von Mengen beschrieben wird. Die ''?physikalische?'' Sprechweise stammt von dem Vorgehen, zunächst zwei veränderlichen Größen (der physikalischen Realität) Symbole, nämlich die Variablen <math>x</math> und <math>y</math>, zuzuordnen und ''danach'' deren Abhängigkeit festzustellen. Steht beispielsweise <math>y</math> für die Raumtemperatur und <math>x</math> für die Zeit, so wird man feststellen können, dass sich die Raumtemperatur in Abhängigkeit von der Zeit ändert und somit ''?die Raumtemperatur eine Funktion der Zeit ist?'' oder stellvertretend ''?<math>y</math> eine Funktion von <math>x</math> ist.?''

Statt ''Definitionsmenge'' <math>D</math> wird auch ''Definitionsbereich, Urbildmenge'' oder schlicht ''Urbild'' gesagt. Die Elemente von <math>D</math> heißen ''Funktionsargumente, Funktionsstellen'' oder ''Urbilder,'' salopp auch ''<math>x</math>-Werte.'' Die Zielmenge <math>Z</math> wird auch ''Wertemenge'' oder ''Wertebereich'' genannt, die Elemente von <math>Z</math> heißen ''Zielwerte'' oder ''Zielelemente,'' salopp auch ''<math>y</math>-Werte.'' Diejenigen Elemente von <math>Z</math>, die tatsächlich auch als Bild eines Arguments auftreten, heißen ''Funktionswerte, Bildelemente'' oder schlicht ''Bilder.''

Darstellung

Eine Funktion <math>f\colon\, U \to \R,\ U\subseteq\R</math>, kann man visualisieren, indem man ihren Graphen in ein (zweidimensionales) <math>\R^2</math> ist zusammenhängend).

Analog kann man Funktionen <math>f\colon\, U \to \R^2,\, U\subseteq\R</math>, und <math>g\colon\, U \to \R,\, U\subseteq\R^2</math>, visualisieren, indem man sie in ein dreidimensionales Koordinatensystem zeichnet. Ist <math>f</math> stetig, so ergibt sich eine Kurve (die auch Ecken haben kann), die sich durch das Koordinatensystem ?schlängelt?. Ist <math>g</math> stetig, so ergibt sich eine Fläche als Bild, typischerweise in Form einer ?Gebirgslandschaft?.

Computerprogramme zur Darstellung von Funktionen heißen Funktionenplotter. Funktionsprogramme gehören auch zum Funktionsumfang von Computeralgebrasystemen (CAS), matrizenfähigen Programmierumgebungen wie MATLAB, Scilab, GNU Octave und anderen Systemen. Die wesentlichen Fähigkeiten eines Funktionenplotters sind auch auf einem graphikfähigen Taschenrechner verfügbar. Es gibt auch Web-gestützte Angebote, die nur einen aktuellen Browser benötigen.

<gallery caption="Beispiele einiger Funktionsgraphen">

   Graph describing a linear function.svg|)
   Polynomialdeg5.svg|[[Polynom]]funktion 5.?Grades
   Exp re.png|Realteil der komplexen [[Exponentialfunktion]]
   Sin.svg|[[Sinus und Kosinus|Sinusfunktion]]
   Normal density-3.svg|[[Normalverteilung|Gaußsche Glockenkurve]]

</gallery>

Grundeigenschaften

Bild und Urbild

Das Bild eines Elements <math>x</math> der Definitionsmenge ist einfach der Funktionswert <math>f(x)</math>. Das Bild einer Funktion ist die Menge der Bilder aller Elemente der Definitionsmenge <math>D</math>, also

<math>f(D) = \{ f(x) \mid x \in D \}</math>.

Das Bild einer Funktion ist folglich eine Teilmenge der Zielmenge und wird Bildmenge genannt. Ist allgemeiner <math>S</math> eine Teilmenge von <math>D</math>, dann ist

<math>f(S) = \{ f(x) \mid x \in S \}</math>

das Bild von <math>S</math> unter der Funktion <math>f</math>.

Das Urbild eines Elements <math>y</math> der Zielmenge <math>Z</math> ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild <math>y</math> ist. Es ist

<math>\kappa_{f^{-1}}(y) = f^{-1}(\{y\}) = \{ x \in D \mid f(x) = y \}</math>,

(<math>f^{-1}</math> ist im Allgemeinen keine eindeutige Funktion ist, sondern eine Multifunktion, zu Schreibweise <math>\kappa_{f^{-1}}</math> siehe dort, sowie bei Relation §Relationen und Funktionen und Korrespondenz (Mathematik)).

Oft werden diese ''Fasern'' einfach mit <math>f^{-1}(y)</math> bezeichnet, was aber im Fall (eindeutig) umkehrbarer Funktionen einerseits ''x'', andererseits {''x''} bezeichnet.

Das Urbild einer Teilmenge <math>T</math> der Zielmenge ist die Menge aller Elemente der Definitionsmenge, deren Bild Element dieser Teilmenge ist:

<math>f^{-1}(T) = \{ x \in D \mid f(x) \in T \}</math>.

Injektivität, Surjektivität, Bijektivität

  • Eine Funktion ist injektiv, wenn jedes Element der Zielmenge höchstens ein Urbild hat. D.?h., aus <math>f(x_1) = y = f(x_2)</math> folgt <math>x_1=x_2.</math>
  • Sie ist surjektiv, wenn jedes Element der Zielmenge mindestens ein Urbild hat. D.?h., zu beliebigem <math>y</math> gibt es ein <math>x</math>, sodass <math>f(x)=y.</math>
  • Sie ist bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist, wenn also jedes Element der Zielmenge genau ein Urbild hat.

Stelligkeit

Eine Funktion <math>f \colon D \to Z</math>, deren Definitionsmenge <math>D</math> eine Produktmenge <math>D=A\times B</math> ist, heißt oft ''zweistellig.'' Den Wert von <math>f</math>, der bei Anwendung von <math>f</math> auf das Paar <math>(a,b) \in D</math> erhalten wird, bezeichnet man mit <math>f(a,b)</math>.

Analoges gilt für höhere Stelligkeiten. Eine Funktion <math>f\colon A\times B \times C \to Z</math> bezeichnet man üblicherweise als ''dreistellig.'' Eine Funktion, deren Definitionsmenge keine Produktmenge ist (oder bei der die innere Struktur der Definitionsmenge keine Rolle spielt) bezeichnet man als ''einstellig.'' Unter einer nullstelligen Funktion versteht man eine Funktion, deren Definitionsmenge das leere Produkt <math>\{()\} = \{\emptyset\}</math> ist, bei einem beliebigen Funktionswert. Daher können nullstellige Funktionen als Konstanten aufgefasst werden, was bei algebraischen Strukturen (wie auch bei heterogenen Algebren) Anwendung findet.

Statt nullstellig, einstellig, zweistellig, dreistellig sagt man auch oft unär, binär, ternär; Stelligkeit wird daher auch als ?Arität? (englisch: arity) bezeichnet.

Menge der Funktionen

Mit <math>Z^D, \ {}^DZ, \ [D \to Z]</math><ref name="noekla" /> oder <math>\operatorname{Abb}(D,Z)</math> wird die Menge aller Abbildungen von <math>D</math> nach <math>Z</math> bezeichnet:
<math>Z^D := \{f \mid f\colon D \to Z\}</math>
Für die Mächtigkeit gilt:
<math>|Z^D| = |Z|^{|D|}</math>

Operationen

Einschränkung

Die Einschränkung einer Funktion <math>f \colon A \to B</math> auf eine Teilmenge <math>C</math> der Definitionsmenge <math>A</math> ist die Funktion <math>f|_C \colon C \to B</math>, deren Graph durch

<math>G_{f|_C} = G_f \cap (C\times B) = \{(x,y) \in G_f \mid x \in C\}</math>

gegeben ist.

Umkehrfunktion

Zu jeder bijektiven Funktion <math>f \colon A \to B</math> gibt es eine Umkehrfunktion

<math>f^{-1} \colon B \to A, \, y \mapsto f^{-1}(y)</math>,

sodass <math>f^{-1}(y)</math> das eindeutig bestimmte Element <math>x \in A</math> ist, für das <math>f(x) = y</math> gilt. Die Umkehrfunktion erfüllt damit für alle <math>x \in A</math>

<math>f^{-1}(f(x)) = x</math>.

Bijektive Funktionen werden daher auch als eindeutig umkehrbare Funktionen bezeichnet.

Verkettung

Zwei Funktionen <math>f \colon A \to B</math> und <math>g \colon B \to C</math>, bei denen der Wertebereich der ersten Funktion mit dem Definitionsbereich der zweiten Funktion übereinstimmt (oder als Teilmenge enthalten ist), können verkettet werden. Die Verkettung oder Hintereinanderausführung dieser beiden Funktionen ist dann eine neue Funktion, die durch

<math>g \circ f \colon A \to C, \, x \mapsto (g \circ f)(x) = g(f(x))</math>

gegeben ist. In dieser Notation steht meist die zuerst angewandte Abbildung rechts, das heißt bei <math>g \circ f</math> wird zuerst die Funktion <math>f</math> angewandt und dann die Funktion <math>g</math>. Gelegentlich wird in der Literatur allerdings auch die umgekehrte Reihung verwendet und <math>(f \circ g)(x) = g(f(x))</math> geschrieben.

Verknüpfung

Ist auf der Zielmenge <math>B</math> eine innere zweistellige Verknüpfung <math>* \colon B \times B \to B</math> gegeben, so lässt sich auch für Funktionen <math>f,g \in B^A</math> eine innere zweistellige Verknüpfung definieren:

<math>f*g \colon A \to B, \, x \mapsto (f*g)(x) = f(x) * g(x)</math>.

Beispiele hierfür sind die punktweise Addition und Multiplikation von Funktionen. Weiter lässt sich mit Hilfe einer äußeren zweistelligen Verknüpfung der Form <math>* \colon C \times B \to B</math> auch die Verknüpfung einer Funktion mit einem Element aus <math>C</math> definieren:

<math>c*f \colon A \to B, \, x \mapsto (c*f)(x) = c * f(x)</math>

Beispiel hierfür ist die punktweise Multiplikation einer Funktion mit einem Skalar. Analog lässt sich so auch eine äußere Verknüpfung der Form <math>f*c</math> definieren. Sind Verknüpfungen der gleichen Art sowohl auf der Definitionsmenge, als auch auf der Zielmenge gegeben, dann heißt eine Funktion verträglich mit diesen Verknüpfungen, wenn sich die Bilder bezüglich der einen Verknüpfung genauso verhalten wie die Urbilder bezüglich der anderen Verknüpfung.

Weitere Eigenschaften

Algebraische Eigenschaften

  • Eine Funktion ist idempotent, wenn <math>f\circ f = f</math> ist, d.?h. <math>f(f(x)) = f(x)\,</math> für alle Elemente <math>x</math> der Definitionsmenge gilt.
  • Sie ist eine Involution, wenn <math>f\circ f = \operatorname{id} \neq f</math> ist, also <math>f(f(x)) = x\!\,</math> für alle Elemente <math>x</math> der Definitionsmenge gilt und für mindestens ein <math>x_0</math> der Definitionsmenge <math>f(x_0) \neq x_0</math> ist.
  • Ein ''Fixpunkt'' ist ein Element <math>a</math> der Definitionsmenge von <math>f</math>, für das <math>f(a) = a</math> gilt.
  • Identität
  • Konstanz

Analytische Eigenschaften

Spezielle Funktionen

Verwendung

Ein fundamentales Konzept in der Mathematik stellen Strukturen dar, die dadurch entstehen, dass Mengen in Verbindung mit dazugehörigen Abbildungen gesehen werden. Derartige Strukturen bilden die Grundlage praktisch aller mathematischen Disziplinen, sobald sie über elementare Mengenlehre, kombinatorische Probleme oder grundlegende mathematisch-philosophische Fragestellungen hinausgehen.

Mengen können beispielsweise durch sogenannte Verknüpfungen strukturiert werden. Der wichtigste Spezialfall ist die innere zweistellige Verknüpfung, dabei handelt es sich um eine Abbildung der Form <math>f\colon\, A\times A \rightarrow A</math>. Beispiele für innere zweistellige Verknüpfungen sind Rechenoperationen, wie die Addition oder Multiplikation auf Zahlenmengen. Dementsprechend wird das Bild <math>*(x,y)</math> eines Paares <math>(x,y)</math> unter einer Verknüpfung <math>*</math> üblicherweise in der Form <math>x*y</math> geschrieben.

Weitere wichtige Beispiele solcher Strukturen sind algebraische, geometrische und topologische Strukturen, wie beispielsweise Skalarprodukte, Normen und Metriken.

Verallgemeinerungen

Multifunktionen

Eine Multifunktion (auch mehrwertige Funktion oder Korrespondenz genannt) ist eine linkstotale Relation. Das heißt, die Elemente der Definitionsmenge <math>X</math> können auf mehrere Elemente der Zielmenge <math>Y</math> abgebildet werden. Man schreibt auch <math>f\colon X\multimap Y</math>.

Wenn <math>Y</math> eine Menge ist, dann kann man jede Multifunktion <math>f\colon X\multimap Y</math> auch als eine Funktion <math>\kappa_f</math> darstellen, die in die Potenzmenge von <math>Y</math> geht: <math>\kappa_f: X \rightarrow \mathcal P(Y), \ x \mapsto \{y\in{Y}|(x,y) \in G_f\}</math>.?<ref>beziehungsweise <math>x \mapsto \{y\in{Y}|(x,y) \in f\}</math> entsprechend der vereinfachten Funktionsdefinition mit Funktion=Graph. Alternative Bezeichnungsweisen:
  • <math>\Phi</math> oder <math>\tilde f</math> für die Korrespondenz <math>\kappa_f</math> zur Multifunktion <math>f</math>, im Fall <math>Y=X</math> (Transitionsfunktion) auch <math>\delta</math>
  • <math>\wp (Y)</math> oder <math>\mathfrak (Y)</math> für die Potenzmenge <math>\mathcal P(Y)</math> von <math>Y</math></ref>

Im Fall <math>Y = X</math> stellt eine mehrwertige Funktion <math>f</math> eine Transitionsrelation dar, und <math>\kappa_f</math> ist die zugehörige Transitionsfunktion.

Die Verkettung von Multifunktionen lässt sich genauso definieren wie für (eindeutige) Funktionen, mengentheoretisch ist dies äquivalent einer Verkettung zweier zweistelliger Relationen.<ref name="HKönig_S21"> {{Literatur
   |Autor=H. König
   |Titel=Entwurf und Strukturtheorie von Steuerungen für Fertigungseinrichtungen
   |Reihe=ISW Forschung und Praxis
   |BandReihe=13
   |Verlag=Springer-Verlag
   |Ort=Berlin / Heidelberg
   |Datum=1976
   |ISBN=3-540-07669-7
   |Seiten=15?17
   |DOI=10.1007/978-3-642-81027-5_1}} Hier: [https://books.google.de/books?hl=de&id=LXigBgAAQBAJ&q=%22sind%20dann%20gleichm%C3%A4chtig%22#v=onepage&f=false Seite 21f]</ref>

Umkehrungen von Funktionen als Multifunktionen

Ein Beispiel für Multifunktionen sind die Umkehrfunktionen (Umkehrungen) von nicht injektiven Funktionen. Wenn <math>f\colon X\rightarrow Y</math> surjektiv ist, gilt automatisch: <math>f^{-1}\colon Y\multimap X</math> ist eine Multifunktion. Die Darstellung der Umkehrfunktion in die Potenzmenge von <math>X</math> liefert mit <math>\kappa_{f^{-1}}(y)</math> die Fasern von <math>f</math> (siehe oben).

Die Verkettung einer Funktion mit ihrer (allgemein nicht eindeutigen) Umkehrung in der Form <math>f^{-1} \circ f</math> ist eine Äquivalenzrelation, die durch <math>f</math> ''induzierte Äquivalenzrelation''. Zwei Elemente aus dem Definitionsbereich sind genau dann äquivalent, wenn sie denselben Funktionswert haben.<ref name="HKönig_S21" />

Partielle Funktionen

Wohl zu unterscheiden vom Begriff der Funktion ist der Begriff der partiellen Funktion, man spricht auch von einer ?nicht überall definierten Funktion? oder ?funktionalen Relation?. Hier darf es Elemente der Quellmenge (<math>x</math>-Werte) geben, denen kein Wert der Zielmenge (<math>y</math>-Wert) zugeordnet ist. Hier ist dann die Nennung der Quellmenge in der obigen Tripelschreibweise tatsächlich notwendig. Allerdings darf es auch dort für einen <math>x</math>-Wert nicht mehr als einen <math>y</math>-Wert geben. Um partielle Funktionen von Funktionen zu unterscheiden, bezeichnet man Letztere auch als totale oder überall definierte Funktionen.

Die Menge <math>[D \rightharpoonup Z]</math><ref name="noekla">teilweise auch ohne die eckigen Klammern notiert</ref> der partiellen Abbildungen von <math>D</math> nach <math>Z</math> ist die Vereinigung der totalen Abbildungen von Teilmengen von <math>D</math> nach <math>Z</math>:
<math>[D \rightharpoonup Z] = \bigcup\limits_{X \subseteq{D}} [X \to Z] = \bigcup\limits_{X\subseteq{D}} Z^X</math>
Sind die Mengen endlich, so gilt für Ihre Kardinalzahlen
<math>\left|[D \rightharpoonup Z]\right| = (|Z|+1)^{|D|}</math>,

schließlich kann man jede partielle Abbildung auf D umkehrbar eindeutig zu einer totalen Abbildung fortsetzen, indem man einen beliebigen festen Funktionswert <math>c</math> festschreibt, der nicht in <math>Z</math> enthalten ist; und diese Operation stellt eine bijektive Abbildung auf <math>(Z \cup \{c\})^D</math> dar.

Jede partielle Funktion <math>f = (G_f,X,Z)</math> ist im Wesentlichen gleich mit der (totalen) Funktion <math>(G_f, Db(f),Z)</math> mit der Urbildmenge <math>Db(f) := \{x\in{X}\mid\exist y\in{Z}: (x,y)\in G_f\}</math>.

Funktionen mit Werten in einer echten Klasse

Häufig liegen die Werte einer Funktion nicht in einer Zielmenge, sondern lediglich in einer : ''Éléments de mathématiques. Théorie des Ensembles.'' II.</ref>
<math>\forall x,y_1,y_2\colon\, (x,y_1),(x,y_2)\in G \implies y_1=y_2</math>

Definitions- und Wertemenge sind tatsächlich Mengen, aber es ist nicht nötig, sich von vornherein auf eine Ziel''menge'' festzulegen, solange die Funktionen im Wesentlichen gleich sind.

Bei partiellen Funktionen gilt gleiches für den Ziel- ''und'' Quellbereich. Beide können einzeln oder zusammen echte Klassen sein; mengentheoretische Probleme entstehen nicht, solange der Graph eine Menge bleibt.

Symbolik

Für Funktionen gibt es etliche symbolische Schreibweisen, die jeweils einige spezielle Eigenschaften der Funktion ausdrücken. Im Folgenden werden einige wichtige genannt.

{| class="wikitable"
|- class="hintergrundfarbe6"
! Symbol
! Erklärung
|-
| <math>f\colon A \to B</math> || Funktion von <math>A</math> nach <math>B</math>
|-
| <math>f\colon a \mapsto b</math>

<math>f(a) = b</math>
| Funktion, die <math>a</math> auf <math>b</math> abbildet; statt <math>b</math> kann auch ein Term o.?Ä. stehen
|-
| <math>(a, b) \in f</math>

<math>(a, b) \in G_f</math>
| Funktion, die <math>a</math> auf <math>b</math> abbildet; statt <math>b</math> kann auch eine Formel o.?Ä. stehen (mengentheoretische Schreibweise)
|-
| <math>f\colon a \mapsto f(a) := b</math> || Funktion, die <math>a</math> auf <math>b</math> abbildet, die die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik (statt <math>f(a)</math> stehen oft Dinge wie <math>a^{{-}1},\; \overline{a},\; a\cdot c</math> u.?Ä.) und der Formel o.?Ä. (an der Stelle von <math>b</math>) zur Berechnung des Bildes angibt
|-
| <math>f\colon A \to B,\, a\mapsto f(a) := b</math> || Ausführlichste Notation, die alle beteiligten Mengen und die elementweise Zuordnung mit Beschreibung der Funktionssymbolik und der Formel o.?Ä. zur Berechnung des Bildes angibt
|-
| <math>f\colon A \twoheadrightarrow B</math> || surjektive Funktion (''Surjektion'') von <math>A</math> nach <math>B</math>
|-
| <math>f\colon A \rightarrowtail B</math> || injektive Funktion (''Injektion'') von <math>A</math> nach <math>B</math>
|-
|<math>f\colon A \leftrightarrow B</math>?

<math>f\colon A \rightleftarrows B</math>

<math>f\colon A \;{\!\;\twoheadrightarrow\;\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\rightarrowtail}\; B</math>
| bijektive Funktion (''Bijektion'') von <math>A</math> nach <math>B</math>
|-
| <math>f\colon A\hookrightarrow B</math> || Inklusionsabbildung, natürliche Inklusion, natürliche Einbettung von <math>A</math> in <math>B</math>
(<math>A</math> ist Untermenge von <math>B</math>, und die Funktion bildet jedes Element von <math>A</math> auf sich ab.)
|-
|<math>f = \operatorname{id}_A</math>

<math>f\colon A \to A,\, a \mapsto a</math>

<math>f\colon A = B</math>
| Identität, identische Abbildung auf A oder von <math>A</math> nach <math>B</math>
(<math>A = B</math> und die Funktion bildet jedes Element auf sich ab.)
|-
|

<math>f\colon A \;\stackrel\cong\to\; B</math>

<math>f\colon A \cong B</math>
| Isomorphismus von <math>A</math> nach <math>B</math>
|-
| <math>f\colon A \rightharpoonup B</math>
<math>f\colon A \rightsquigarrow B</math>|| ''partielle Funktion'' (s.?o.) von <math>A</math> nach <math>B</math>
|-
| <math>f\colon A\multimap B</math> || ''mehrwertige Funktion,'' ''Multifunktion'', Korrespondenz (s.?o.) von <math>A</math> nach <math>B</math>
|-
| <math>[A \to B] = B^A</math>
(bzw. <math>[A \rightharpoonup B]</math> ?) || Menge der Funktionen (bzw. partiellen Funktionen), ? von <math>A</math> nach <math>B</math>?<ref name="noekla" />
|}

Die Symbole können auch, wo sinnvoll, miteinander kombiniert werden.

Literatur

  • Heinz-Dieter Ebbinghaus: ''Einführung in die Mengenlehre.'' 4. Auflage. Spektrum, Akademischer Verlag, Heidelberg u.?a. 2003, ISBN 3-8274-1411-3.
  • Paul R. Halmos: ''Naive Mengenlehre'' (= ''Moderne Mathematik in elementarer Darstellung.'' Bd. 6). Übersetzt von Manfred Armbrust und Fritz Ostermann. 5. Auflage. Vandenhoeck & Ruprecht, Göttingen 1994, ISBN 3-525-40527-8.
  • Arnold Oberschelp: ''Allgemeine Mengenlehre.'' BI-Wissenschafts-Verlag, Mannheim u.?a. 1994, ISBN 3-411-17271-1.
  • Adolf P. Youschkevitch: ''The Concept of Function up to the Middle of the 19th Century.'' In: ''Archive of the History of Exakt Sciences.'' 16 Springer Verlag, Berlin 1976.

Weblinks

Einzelnachweise und Anmerkungen